Martes 19 de octubre | |
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15:45-16:15 | Registro y presentación |
16:15-17:45 |
Javier Gutiérrez (I)
Teoría homotópica de conjuntos dendroidales
Los conjuntos dendroidales forman una extensión natural de los conjuntos simpliciales, y proporcionan un marco adecuado para el estudio de las opéradas de orden superior, de la misma manera que los conjuntos simpliciales modelan las infinito-categorías. Dentro de la teoría dendroidal, la categoría de ordinales finitos, que parametriza los objetos simpliciales, se sustituye por una categoría de árboles finitos, y los conjuntos dendroidales se definen como los prehaces sobre esta categoría. Aunque el desarrollo de la la teoría de conjuntos dendroidales es similar a la de conjuntos simpliciales, tiene algunas diferencias notables y complicaciones técnicas, debidas principalmente a los aspectos combinatorios de la categoría de árboles considerada. El objetivo de este curso es presentar algunas nociones de la teoría homotópica de los conjuntos dendroidales y describir los aspectos básicos de dicha teoría incluyendo la relación con las opéradas y los conjuntos simpliciales, el producto tensorial de conjuntos dendroidales, el nervio dendroidal coherente y la estructura de modelos operádica, entre otros. |
17:45-18:15 | Café |
18:15-19:45 |
Javier Aramayona (I)
¡NOTAS DEL CURSO!
Mapping class groups de superficies topológicas
El mapping class group (MCG) de una superficie topológica S es el grupo de homeomorfismos de S salvo homotopía. Los MCGs ocupan un lugar destacado en diversas áreas de las matemáticas, incluyendo teoría geométrica de grupos, geometría y topología de dimensión baja, dinámica y geometría algebraica. El objetivo de este minicurso es abrir una pequeña ventana al mundo de los MCGs. Después de dar las definiciones y ejemplos básicos necesarios, nos centraremos en algunas de las propiedades fundamentales de los MCGs; por ejemplo, que están generados por (una cantidad finita de) Dehn twists, o que el MCG de una superficie cerrada es naturalmente isomorfo al grupo de automorfismos exteriores del grupo fundamental de la superficie en cuestión. |
Miércoles 20 de octubre | |
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9:30-11:00 |
Javier Aramayona (II)
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11:00-11:45 | Café |
11:45-13:15 |
Javier Gutiérrez (II)
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13:15-13:45 |
Mario Fuentes
Grupos de autoequivalencias actuando nilpotentemente en la homología
Dado un grupo \(G\) de \(\mathcal{E}(X)\), es decir, el grupo de clases de autoequivalencias homotópicas del espacio \(X\), es de especial importancia el caso en el que \(G\) actúa de forma nilpotente en la homología de \(X\). De forma análoga, si \(L\) es una álgebra de Lie podemos estudiar grupos \(G\) de \(\mathcal{E}(L)\), donde \(G\) actúa de forma nilpotente en los indescomponibles de \(L\). En esta charla, se introducirán estos conceptos y veremos que \(\operatorname{aut}_G(L)\), es decir, el conjunto de aquellos isomorfismos que pertenecen a \(G\), es un grupo Malcev \(\mathbb{Q}\)-completo, para ciertos grupos \(G\). Este resultado será fundamental para estudiar la homotopía racional de \(\operatorname{aut}_G(X)\). |
13:45-15:45 | Almuerzo |
15:45-16:15 |
David Martínez
Modelos topológicos de infinito grupoides
En teoría de categorías de orden superior, los \(\infty\)-grupoides son \(\infty\)-categorías con morfismos débilmente invertibles en todos los ordenes. A cada espació topológico le podemos asociar un \(\infty\)-grupoide, llamado su \(\infty\)-grupoide fundamental, que codifica la información de todos las homotopías de orden superior sobre el espacio. La hipótesis de homotopía de Grothendieck dice que un espacio topológico puede ser recuperado a partir de su \(\infty\)-grupoide fundamental salvo homotopía. En esta charla, estudiaremos el modelo de \(\infty\)-categorías basado en categorías enriquecidas en espacios topológicos, discutiremos la hipótesis de homotopía en este contexto y compararemos su \(\infty\)-grupoide fundamental con una construcción basada en las categorías de caminos de Moore. Esta comparación se reduce a la demostración de la equivalencia entre el nervio homotópicamente coherente de un \(\infty\)-grupoide y el nervio de Segal de su categoría enriquecida en espacios topológicos asociada. |
16:15-16:45 |
Alba Sendón
La conjetura de Andrews-Curtis
La conjetura de Andrews-Curtis fue propuesta por James J. Andrews y Morton L. Curtis en 1965, es originalmente algebraica y afirma que toda presentación balanceada del grupo trivial puede convertirse (a través de transformaciones de Andrews-Curtis) en la presentación trivial. Nuestro objetivo es mostrar dos versiones diferentes de la conjetura de Andrews-Curtis, ambas con un enfoque topológico: una para complejos simpliciales finitos y otra para posets finitos. Además, estableceremos la equivalencia entre ellas. |
16:45-17:15 |
Jordi Daura
La propiedad Jordan en variedades localmente homogéneas
Clasificar que grupos finitos actúan en una variedad dada es en general un problema extremadamente complejo. Podemos reducir la dificultad de este si en lugar de estudiar directamente estos grupos finitos estudiamos que propiedades deben cumplir. Una de estas está inspirada en un teorema clásico de C. Jordan en grupos lineales. Diremos que un grupo de homeomorfismos de una variedad \(M\) es Jordan si existe una constante \(C\) tal que todo grupo finito \(G\) que actúa efectivamente en ella tiene un subgrupo abeliano \(A\) cumpliendo que \([G:A]\lt C\). En esta charla repasaremos algunos resultados sobre la propiedad Jordan en variedades cerrades y hablaremos de como estudiar dicha propiedad en variedades asféricas cerradas, centrándonos en las variedades localmente homogéneas. |
17:15-17:45 | Café |
17:45-18:15 |
Xabier Legaspi
Crecimiento y convexidad a gran escala en grupos que actúan con un elemento constrictivo
La propiedad de constricción de subconjuntos de un espacio métrico geodésico fue introducida por A. Sisto como una generalización a gran escala de la propiedad de contracción fuerte presente en las geodésicas de los espacios hiperbólicos. En esta charla, estudiaremos los subgrupos \(H\) de grupos \(G\) que admiten una acción propia mediante isometrías con un elemento constrictivo sobre un espacio métrico filamentado \(X\). En particular, daremos una demostración elemental que prueba que las tasas de crecimiento \(\omega(H)\) y \(\omega(H\backslash G)\) de \(H\) y del cociente \(H\backslash G\) verifican \(\omega(H)<\omega(G)\) y \(\omega(H\backslash G)=\omega(G)\) cuando \(H\) es de índice infinito en \(G\) y satisface una condición muy general de convexidad. En particular, la clase de \(G\) incluye grupos relativamente hiperbólicos, grupos \(CAT(0)\) y grupos jerárquicamente hiperbólicos tales como grupos modulares de superficie y grupos de Artin de ángulo recto. Es más, cuando la acción de \(G\) sobre \(X\) es geométrica, los resultados se extienden a la acción de \(G\) en sobre cualquiera de sus grafos de Cayley localmente finitos. |
18:15-18:45 |
David Mosquera
La idea de función de Morse discreta
Toda la teoría de Morse discreta iniciada por Forman se fundamenta en la definición de función de Morse discreta. Sin embargo, tal definición semeja muy artifical. En esta charla trataremos de motivarla y a continuación desarrollar las consecuencias. |
18:45-19:15 |
Roberto Giménez Conejero
Monodromía de gérmenes de funciones analíticas sin puntos fijos
In this joint work with J.J. Nuño-Ballesteros and Lê Dung Tráng we prove that, given \(f:(X,x)\rightarrow(\mathbb{C},0)\) such that \(f\in \mathfrak m_{X,x}^2\), there is a geometric local monodromy of \(f\) without fixed points and we give an application of this fact in a broad context. A geometric monodromy appears every time we have a local trivial fibration over \(S^1\), say \(f:U\rightarrow S^1\). Broadly speaking, it is a map of a fiber \(F=f^{−1}(x_0)\) onto itself that is defined by taking \(F\) to give a loop around \(S^1\). This is the situation of \(f:(X,x)\rightarrow(\mathbb{C},0)\) such that \(f\in \mathfrak m_{X,x}^2\) and the fibration induced by taking a small enough circumference around 0, in this case is called local geometric monodromy. Finally, we use it to prove that, in a broad context, the critical points of a family of functions from a family of complex analytic sets cannot split along the family. This generalises two theorems of the second coauthor, one stated for \(\mathbb{C}^n\) instead of \(X\) and other for hypersurfaces; and gives an alternative proof of a result of A'Campo, that the Lefschetz number is zero. |
Jueves 21 de octubre | |
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9:30-11:00 |
Javier Gutiérrez (III)
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11:00-11:45 | Café |
11:45-13:15 |
Javier Aramayona (III)
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13:15-13:45 |
Iván Rasskin
Construcción de nudos con empaquetamientos de esferas
¿Cuántas esferas hacen falta para construir un collar anudado? ¿Y con esferas de distintos tamaños? Detrás de estas inofensivas preguntas se esconde una conexión profunda entre la teoría de nudos, empaquetamientos de esferas, polítopos, la teoría de números y la geometría de Lorentz. En esta charla veremos rápidamente como se ligan las distintas teorías mencionadas y las usaremos para definir dos algoritmos de construcción de collares: uno general, que permite establecer que el número mínimo de esferas necesarias para construir un collar (o collares) con la forma de un nudo dado (o enlace) es menor que 5 veces su número de cruce, y un segundo método que mejora la cota anterior para los nudos racionales. Este un trabajo conjunto con Jorge Ramírez Alfonsín. |
13:45-15:45 | Almuerzo |
15:45-16:15 |
Sergio García
Polinomio de Jones y homología de Khovanov anulares y la conjetura wrapping
Dos de los invariantes de nudos más importantes son el polinomio de Jones y su categorificación, la homología de Khovanov, que fue el primer invariante homológico. Si consideramos nudos en otro espacio que no sea \(\mathbb R^3\), como podría ser el anillo engrosado \(A \times I\), se pueden definir versiones análogas para los invariantes anteriores. En esta charla se presentan las versiones anulares de ambos invariantes: el polinomio de Jones anular y la homología de Khovanov anular. También se introducirá la conjetura wrapping, que da una cota inferior para el wrapping number de un enlace visto en el toro sólido, en términos de su polinomio de Jones anular, en su versión fuerte, y de su homología de Khovanov anular, en su versión débil. |
16:15-16:45 |
O'Bryan Cárdenas
Invariantes polinomiales para tied link
La presente charla comenzará introduciendo la teoría clásica de nudos y links, el problema de clasificación y algunas invariantes polinomiales para estos. En particular se hablará sobre el Método de Kauffman para construir invariantes polinomiales. En la segunda, se mostrará una generalización de la teoría clásica desarrollada por J.Juyumaya y F.Aicardi, la teoría de Tied Links (Enlaces Ligados) y la aplicación del método antes visto para construir un invariante polinomial para estos. |
16:45-17:15 |
Luis Crespo
Rigidez y multitriangulaciones
Las multitriangulaciones son grafos que generalizan las triangulaciones. En esta charla voy a comentar avances recientes relacionados con la rigidez estructural de estos grafos, y la construcción de un politopo de multitriangulaciones, o multiasociaedro, que generaliza el asociaedro, basada en dichos resultados sobre rigidez. |
17:15-17:45 | Café |
17:45-18:15 |
Arturo Espinosa
Topics on Topological Complexity: TC of groups as A-genus and effective topological complexity
Topological complexity was introduced by Michael Farber as a tool to tackle the motion planning problem in robotics from a topological perspective and, despite being a particular case of the more general notion of sectional category of a map, it quickly proved to be an interesting invariant in its own right. In this talk we introduce two topics of research in this rich field. First, the task of studying the topological complexity of aspherical spaces, for which we offer the approach of characterizing the TC of a group G in terms of the \(\mathcal{A}\)-genus in the sense of Clapp and Puppe, where \(\mathcal{A}\) denotes a suitable family of G-spaces. Additionally, we use this notion of \(\mathcal{A}\)-genus to study other non-trivial category-like invariants of groups with torsion, for which the usual topological complexity provides no significant information. Second, the study of how symmetries can help in the analysis of configuration systems in topological robotics. To that end, we use the notion of effective topological complexity, first defined by Błaszczyk and Kaluba, and develop an analogue of LS-category to the effective setting, which allows us to study fundamental properties of effective TC. This is a work in progress jointly with Dr. Błaszczyk and Dr. Viruel. |
18:15-18:45 |
Juan Antonio Delgado
Cálculos efectivos en el tercer término de la sucesión espectral de Adams
En esta charla se pretende dar una visión introductoria de la sucesión espectral de Adams, así como de las herramientas fundamentales para su comprensión. Finalmente, se desarrollarán los cálculos obtenidos por Baues y Jibladze para la obtención de la tercera página. |
18:45-19:15 |
Cristian Reyes
Empaquetamientos de discos extremales en superficies hiperbólicas y planas
Analizaremos ciertas condiciones de carácter topológico-aritméticas para demostrar la existencia y la posibilidad de múltiples empaquetamientos de discos extremales en superficies hiperbólicas y planas. |
Viernes 22 de octubre | |
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9:00-9:45 | Registro |
9:45-10:00 | Bienvenida |
10:00-11:00 |
Cristina Costoya
La importancia de ser rígid@
¿Qué significa que un objeto sea rígido? Simplemente que no admite automorfismos no triviales en la categoría donde vive, sólo la identidad. Esta hipótesis sobre un \(X \in HoTop\), la categoría homotópica de espacios topológicos, se traduce en que el grupo de autoequivalencias \({\mathcal E}(X)\) es trivial. Trabajaremos con \(X \in HoTop\) racionales, o equivalentemente con objetos en \(HoDGA_{\mathbb Q}\), la categoría homotópica de álgebras diferenciales graduadas sobre \(\mathbb Q\). Espacios a la vez rígidos y racionales (dga's rígidas y racionales) son excepcionales, y relativamente recientes en literatura. En esta charla veremos cómo resultan ser piezas clave para dar respuesta a problemas clásicos en Topología Algebraica y Geometría Diferencial. |
11:00-12:00 | Café y sesión de pósters |
12:00-13:00 |
Guillermo Peñafort
Perturbaciones de gérmenes de aplicaciones holomorfas
Un germen holomorfo es un objeto que describe localmente una aplicación holomorfa. Los gérmenes son triviales desde el punto de vista homológico, pero podemos estudiarlos por medio de sus perturbaciones, es decir, deformaciones pequeñas del germen a estudiar. En esta charla trataremos problemas abiertos y avances recientes acerca de la homología de estas perturbaciones, poniendo especial énfasis en las conexiones con la fibración de Milnor, un tema clásico que trata sobre perturbaciones de gérmenes de hipersurperficies complejas. |
13:00-13:10 | Foto de grupo |
14:00-15:30 | Almuerzo |
16:00-17:00 | Pedro Boavida Smooth embeddings in Euclidean space
The Goodwillie-Weiss tower of the space of smooth embeddings arises from scanning embeddings by finite subsets of varying cardinalities. I will present a further filtration, having input the data of a triangulation of a manifold, and use it to construct a homotopical model for the space of smooth embeddings of that manifold in Euclidean space. This model comes equipped with an interesting Galois action which, by a purity-implies-formality argument following Cirici-Horel, has strong consequences for the homology and homotopy of these embedding spaces. Rationally, this reproduces and slightly extends some recent results of Fresse-Turchin-Willwacher. Based on joint work with Horel and previous work with Lambrechts, Songhafouo and Pryor. |
17:00-17:30 | Café |
17:30-18:30 | Joana Cirici Modelos minimales de Agustí Roig
La teoría de los modelos minimales de Sullivan, inicialmente desarrollada en el contexto de las álgebras diferenciales graduadas conmutativas, es una potente herramienta para el estudio del tipo de homotopía racional de los espacios topológicos, con múltiples aplicaciones en álgebra, geometría y topología. Agustí dedicó gran parte de su trayectoria científica al estudio y construcción de modelos minimales en varios contextos y con distintos niveles de generalidad. En esta charla en memoria de Agustí, intentaré exponer algunas de sus principales ideas, así como los resultados de nuestro último trabajo conjunto sobre modelos minimales de álgebras operádicas. |
18:45-19:30 | Asamblea de la RET |
21:00-23:00 | Cena social |
Sábado 23 de octubre | |
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10:00-11:00 |
María Cumplido
Una nueva familia de grupos de Thompson trenzados
Existe una generalización de los grupos de Thompson construida a partir del grupo de Thompson \(V\) y el grupo de trenzas de Artin. El grupo de Thompson trenzado \(BV_2\) fue definido simultáneamente por Patrick Dehornoy y Matthew G. Brin en 2006. En esta charla, explicaremos cómo podemos extender esta definición para obtener una familia de grupos mucho más grande que usa trenzas con infinitas cuerdas. Estos grupos, a los que llamamos grupos de Thompson infinitamente trenzados, se denotan por \(BV_n(H)\), donde \(H\) es un subgrupo del grupo de trenza con \(n\) cuerdas, \(B_n\). Probaremos que los \(BV_n(H)\)son, en efecto, grupos, usando diagramas trenzados y sistemas de reescritura. También probaremos que \(BV_n(H)\) es finitamente generado si \(H\) es finitamente generado, dando a su vez un conjunto explícito de generadores para \(BV_n(B_n)\) y otros ejemplos. Este es un trabajo conjunto con Julio Aroca. |
11:00-11:30 | Café |
11:30-12:30 |
Jesús Jaramillo
Teoremas de inversión global y proyecciones recubridoras en espacios métricos
La inversión global de funciones es una cuestión relevante que aparece en distintas áreas y contextos de las matemáticas. En esta charla presentaremos un recorrido por varios resultados de inversión global, clásicos y modernos, resaltando los aspectos métricos del problema, así como sus conexiones con las proyecciones recubridoras. |
12:30-13:30 |
Juan Viu
Topology of line arrangements & linking invariants: an approach using weighted configurations of points
A line arrangement \(\mathcal{A}=\{L_0,\ldots,L_n\}\) is a collection of finitely many lines in \(\mathbb{C}\mathbb{P}^2\). A classic problem for line arrangements is the study of the influence of the combinatorics (described by the incidence graph \(\Gamma_\mathcal{A}\) on the topology of the embedding \((\mathbb{C}\mathbb{P}^2,\mathcal{A})\). A pair of combinatorially equivalent arrangements with different topological type is called a Zariski pairs. Until now, only 3 exemples of Zariski pairs were known. All of them are defined over non-trivial number fields and they are distinguished by using computer calculations at some step. Among them, only one pair admits real equations, and it is the only case for which we do not know if it can be distinguished by the fundamental group of the complement. Based on the linking \(\mathcal{I}\)-invariant introduced by Artal, Guerville-Ballé and Florens for arrangements, we present a method to distinguish Zariski pairs admitting real equations, consisting on the weight counting of points of the dual configuration over particular chambers of \(\mathbb{R}\mathbb{P}^2\). From this, several new examples of Zariski pairs admitting equations over \(\mathbb{Q}\) are constructed using GeoGebra, one of them having non-isomorphic fundamental groups. This is a joint work with Benoît Guerville-Ballé. |
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