PROGRAMA

Presentaremos un trabajo en progreso (conjunto con Imma Gálvez Carrillo, Joachim Kock, y en parte también con Iván Chércoles), con la intención de profundizar en el conocimiento de la relación entre estructuras homotópicas de orden superior tal y como se codifican en los espacios de descomposición (también conocidos como espacios 2-Segal), y estructuras bialgebraicas tanto en su realización combinatoria como sus realizaciones puramente algebraicas y numéricas.

Muchas de estas biálgebras y álgebras de Hopf tienen una larga historia en matemáticas, y el interés por ellas no deja de crecer, puesto que continúan manifestándose en nuevas áreas. Las numerosas conexiones que desvelan hacen deseable un nuevo tratamiento más unificado de las mismas. Entre ellas, destacaremos diversas biálgebras relacionadas con las funciones simétricas y con árboles y bosques. Si el tiempo lo permite, examinaremos también algunas cuestiones sobre cambios de base, conexiones de Galois y construcciones de dualidad.

Se introduce la nocion de especies hereditarias dirigidas de descomposición, la cual generaliza las especies hereditarias de Schimitt, las especies restrictivas dirigidas de Gálvez-Kock-Tonks, y da una versión directa de la construction de espacios de descomposición monoidales y de bialgebras comodulares de Carlier. Además, todos los ejemplos de Schmitt, Gálvez-Kock-Tonks y Carlier estan abarcados por la nueva construcción. Adicional se tienen nuevos ejemplos como la bialgebra comodular de Calaque-Ebrahimi-Fard-Manchon.

El espacio topológico \(B\text{aut}(X)\) es doblemente interesante: resulta ser el espacio clasificante de aquellas fibraciones cuya fibra es el espacio \(X\), y, por otro lado, nos proporciona información homotópica de \(\text{aut}(X)\), el espacio de aquellos automorfismos de \(X\) que son equivalencias homotópicas.

Su homotopía racional es bien conocida en el contexto clásico: es decir, con \(X\) simplemente conexo y tomando el recubridor universal de \(B\text{aut}(X)\). Gracias a los recientemente desarrollados modelos de Lie, podemos dar el salto al mundo no simplemente conexo. En esta charla se presentan algunos resultados sobre la homotopía racional de \(B\text{aut}(X)\) en un contexto no simplemente conexo.

La cohomología racional del espacio de moduli de superficies orientables de género g en una variedad estabiliza a la cohomología de cierto espacio de secciones según el género crece cuando la dimensión de la variedad ambiente es al menos 5. En dimensión 4 este resultado no es cierto, no obstante, en esta charla usaremos la homotopía racional de este espacio de secciones para determinar clases de cohomología no triviales en el espacio de moduli de superficies en \(\text{CP}^2\).

Los espacios (finitos) esquemáticos son espacios finitos anillados que, con hipótesis mínimas, admiten una "buena" teoría de haces cuasicoherentes. Pueden emplearse para estudiar la categoría de esquemas (cuasicompactos) cuasiseparados a través de la construcción de "modelos (finitos)" de estos, pero incluyen además espacios más generales –que representan "pegados" de esquemas a lo largo de monomorfismos planos, por ejemplo de "puntos", lo cual podría emplearse en el estudio de singularidades–.

Una vez destacadas algunas de sus características relevantes, introduciré una noción de grupo fundamental étale para estos espacios –que extiende la versión para revestimientos finitos étale de esquemas (SGA I)– y daré indicaciones sobre posibles variaciones. Como muestra de la utilidad de trabajar con este lenguaje, emplearé la estructura combinatoria de los espacios esquemáticos para dar una demostración muy sencilla del Teorema de Seifert-Van Kampen para el grupoide fundamental correspondiente, obteniendo en particular que define un "costack" en la topología de monomorfismos planos de esquemas.

Un dessin d'enfant, o diseño, es un grafo bipartito inmerso en una superficie y crea un puente entre la combinatoria y la geometría compleja. Es sabido que todo grupo finito se puede realizar como el grupo de automorfismos de un diseño. Mostramos que podemos generalizar el resultado a cualquier grupo numerable, y es más, podemos realizar todo el retículo de subgrupos de dicho grupo a través del retículo de subdiseños. Para llegar a este resultado buscamos un grafo adecuado que podamos "engordar" a la superficie sobre la que construir nuestro diseño.

La prueba más conocida del teorema de Riemann-Roch para un morfismo se basa en la descomposición del morfismo en una inmersión cerrada seguida de una proyección de un espacio proyectivo sobre su base. En esta charla veremos cómo probar el teorema de Riemann-Roch a partir de la versión motívica de la dualidad de Spanier-Whitehead. Esta prueba tiene la ventaja de que no requiere factorizar el morfismo y de que puede trasladarse fácilmente a otros contextos.

Desde el punto de vista de la geometría algebraica no conmutativa, las categorías de Grothendieck pueden interpretarse como modelos categóricos de espacios no conmutativos. Desde el punto de vista derivado, las categorías trianguladas equipadas con una t-estructura, y más especialmente sus ensalzamientos (dg- , \(A_{\infty}\)-, \(\infty\)-categorías), pueden interpretarse como modelos categóricos derivados de espacios no conmutativos. En concreto, la presencia de una t-estructura garantiza una buena comunicación entre el mundo abeliano y su homólogo derivado.

El teorema clásico de Gabriel-Popescu nos permite identificar las categorías de Grothendieck como las localizaciones de las categorías de módulos. En el mundo derivado, las categorías trianguladas algebraicas bien generadas son la versión triangulada de las categorías de Grothendieck y el teorema triangulado de Gabriel-Popescu probado por Porta nos permite identificarlas como las localizaciones de las categorías derivadas de dg-categorías pequeñas.

El objetivo de esta charla es demostrar una versión del teorema de Gabriel-Popescu que incorpora las t-estructuras. Más concretamente, introducimos una familia de dg-categorías con t-estructura que interpretan el papel de las categorías de Grothendieck en este marco (en particular son bien generadas y los corazones de las t-estructuras son de Grothendieck) y probamos que son t-localizaciones de las categorías dg-derivadas de dg-categorías pequeñas concentradas en grados no positivos con la t-estructura estándar. La demostración hace uso de una estrategia análoga a la proporcionada por Mitchell para su breve demostración del teorema clásico de Gabriel-Popescu. El ingrediente esencial de la demostración de Mitchell, los objetos inyectivos, se verá sustituido en nuestro caso por su versión derivada, los objetos inyectivos derivados. Éste es un trabajo conjunto con Francesco Genovese.

Para una categoría de Grothendieck A con suficientes proyectivos probaremos que la categoría derivada no acotada D(A) es un derivador fuerte empleando la existencia de funtores derivados. A diferencia del enfoque clásico de Cisinski, el argumento utilizará simplemente las herramientas habituales del álgebra homológica. Otras aproximaciones ya existentes en este sentido se ceñían al caso acotado y la categoría de diagramas de partida requería condiciones de finitud. En este caso el derivador está definido para todo Cat. Además, se comprobará que D(A) define un derivador estable y que esta propiedad nos garantiza que la estructura triangulada asociada al derivador coincide con la estructura triangulada clásica de la categoría derivada. Finalmente se abordarán algunas aplicaciones.

El llamado "fenómeno de phantom" en categorías trianguladas (por ejemplo, ver [Nee92]) ha sido llevado con éxito a categorías de módulos sobre cualquier anillo por [Her07], posteriormente a la configuración de categoría exacta por [FGHT13]. Existen ciertos avances sobre morfismos de phantom en categorías abelianas que muestran su paralelismo con el existente en categorías trianguladas. Por otro lado, el llamado "fenómeno de ghost" ocurrido en ciertas categorías topológicas/trianguladas no se ha estudiado hasta ahora desde el punto de vista 'abeliano'.

Se debe enfatizar que se pueden encontrar diferentes nociones de morfismos de 'ghost' en la literatura dependiendo de la categoría triangulada de base. Sin embargo, estas se basan esencialmente en lo siguiente: son morfismos invisibles bajo ciertos functores homológicos/homotópicos; ver [Fre66] para morfismos de ghost con respecto al functor de grupos de homotopía estable en la categoría de espectros de homotopía; ver [Kel65] y [Chr98] para los morfismos de ghost con respecto al functor de homología en la homotopía y la categoría derivada \(\mathbf{K}(R)\) y \(\mathbf{D}(R)\) de un anillo \(R\), respectivamente; ver [CCM08] para morfismos fantasma con respecto al functor de cohomología Tate en la categoría de módulo estable de un grupo finito

La mayoría de los trabajos sobre morfismos de ghost en categorías derivadas/homotopía y la categoría estable de módulos se centran en investigar varios análogos de la llamada "Hipótesis generadora de Freyd" propuesta en [Fre66] para la categoría de espectros de homotopía; afirma que no hay mapas de ghost no triviales en la categoría de espectros finitos. En nuestro trabajo conjunto en curso, presentamos y estudiamos morfismos (relativos) de ghost en un entorno abeliano. En esta charla, explicaremos algunos de los resultados sobre cómo conectamos los morfismos de ghost existentes con nuestros morfismos de ghost en un entorno abeliano, y cómo manejar el GH en una categoría abeliana.

Este es un trabajo en curso con Sergio Estrada, X.H. Fu e Ivo Herzog.

Referencias:

[CCM08] Chebolu, S. K., Christensen, J. D., Minác, J. (2008). Groups which do not admit ghosts. Proceedings of the American Mathematical Society 136, No: 4, 1171—1179.

[Chr98] Christensen, J. D. (1998). Ideals in triangulated categories: phantoms, ghosts and skeleta. Adv. Math. 136, no. 2, 284—339.

[FGHT13] Fu, X. H., Guil Asensio P. A, Herzog, I., Torecillas, B. (2013). Ideal approximation theory. Advances in Mathematics, 244, 750-790.

[Fre66] Freyd, P. (1966). Stable Homotopy. Proceedings of the Conference on Categorical Algebra. Springer, Berlin, Heidelberg.

[Her07] Herzog, I. (2007). The phantom cover of a module. Adv. in Math. 215, 220–249.

[Kel65] Kelly, G. (1965). Chain maps inducing zero homology maps. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 61(4), 847-854.

[Nee92] Neeman, A. (1992). The Brown Representability Theorem and Phantomless Triangulated Categories, J. Alg. 15, 118-155.

En esta charla trataremos dos aproximaciones diferentes a la categoría de singularidades de un esquema. En la primera, daremos un modelo para definir la categoría derivada estable en el sentido de Krause, pero en un contexto más general al de esquemas noetherianos y probaremos la existencia de un reagrupamiento entre las categorías involucradas.

En la segunda, daremos una definición de la categoría de singularidades "grande" asociada a un esquema y veremos como esta nueva definición nos permite dar una versión no afín de un resultado clásico de Buchweitz sobre anillos de Gorenstein. La charla es parte de dos proyectos, uno en colaboración con James Gillespie y otro en colaboración con Lars Christensen y Peder Thompson.